ΘΕΜΑ 2 Σε ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ ( Α ˆ = 90 ο ) θεωρούμε τα μέσα Δ, Ε και Ζ των πλευρών του ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΑΕΖΔ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 12) β) Το τετράπλευρο ΕΔΒΓ είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 13)
ΘΕΜΑ 2 Δίνονται δύο ομόκεντροι κύκλοι με κέντρο Ο και ακτίνες ρ και R (ρ<r). Οι χορδές ΔΓ και ΖΕ του κύκλου (Ο,R) εφάπτονται του κύκλου (Ο, ρ) στα σημεία Α και Β αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι ΔΓ=ΖΕ. (12 Μονάδες) β) Αν οι ΔΓ και ΖΕ προεκτεινόμενες τέμνονται στο σημείο Κ, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΕΓ είναι ισοσκελές. (13 Μονάδες)
ΘΕΜΑ 2 Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και Μ το μέσο της πλευράς ΒΓ. Στα σημεία Β και Γ φέρουμε κάθετες στη ΒΓ προς το ίδιο μέρος, και θεωρούμε σε αυτές σημεία Δ και Ε αντίστοιχα, τέτοια ώστε Μ = ΜΕ. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τμήματα ΒΔ και ΓΕ είναι ίσα. (Μονάδες 13) β) Το τετράπλευρο ΒΔΕΓ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 12)
ΘΕΜΑ 2 Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ, το σημείο Μ είναι το μέσο της πλευράς ΔΓ και τα σημεία Κ και Λ είναι τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών του ΑΔ και ΒΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τμήματα ΚΜ και ΛΜ είναι ίσα. (Μονάδες 12) β) Τα τμήματα ΑΜ και ΒΜ είναι ίσα. (Μονάδες 13)
ΘΕΜΑ 2 Δίνεται γωνία xαy και η διχοτόμος της Αδ. Από τυχαίο σημείο Β της Αx φέρνουμε κάθετη στη διχοτόμο, η οποία τέμνει την Αδ στο Δ και την Ay στο Γ. Να αποδείξετε ότι : α) Τα τμήματα ΑΒ και ΑΓ είναι ίσα. (Μονάδες 12) β) Το τυχαίο σημείο Ε της Αδ ισαπέχει από τα Β και Γ. (Μονάδες 13)
ΘΕΜΑ 2 Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α Λ = 90 ο και Λ B = 30 ο. Αν τα σημεία Ε και Δ είναι τα μέσα των ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα με ΕΔ=1, να υπολογίσετε τα τμήματα: α) ΑΓ (Μονάδες 8) β) ΒΓ.. (Μονάδες 9) γ) ΑΔ.. (Μονάδες 8) Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ΘΕΜΑ 2 Θεωρούμε κύκλο διαμέτρου ΒΓ. Φέρουμε την εφαπτομένη του κύκλου σε σημείο του Α ώστε να σχηματίζει με τη χορδή ΑΓ γωνία 45 ο. Φέρουμε επίσης μια παράλληλη ευθεία στη ΒΓ που τέμνει την ΑΒ στο Δ και την ΑΓ στο Ε. α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΒΑΓ. (Μονάδες 10) β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΒΓΕΔ είναι ισοσκελές τραπέζιο και να υπολογίσετε τις γωνίες του. (Μονάδες 15)
ΘΕΜΑ 2 Δίνονται δυο ίσοι κύκλοι (Ο,ρ) και (Κ,ρ) με ΟΚ=ρ, οι οποίοι τέμνονται στα σημεία Α και Δ. α. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΚ είναι ισόπλευρο. (Μονάδες 10) β. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΒΑΚ. (Μονάδες 15)
ΘΕΜΑ 2 Δίνονται τα τμήματα ΑΓ=ΒΔ που τέμνονται στο σημείο Ο έτσι ώστε ΟΑ=ΟΒ, και τα σημεία Η και Ζ στα τμήματα ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα, έτσι ώστε ΟΗ=ΟΖ. Να αποδείξετε ότι: α) Οι γωνίες Λ Α Ο και Λ ΒΓΟ είναι ίσες. (Μονάδες 12) β) ΑΖ=ΒΗ. (Μονάδες 13)
ΘΕΜΑ 2 Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ. Από τα μέσα Κ και Λ των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, φέρουμε τα κάθετα τμήματα ΚΕ και ΛΖ στην πλευρά ΒΓ. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΚΕΓκαι ΛΖΒ είναι ίσα. (Μονάδες 15) β) ΕΗ=ΖΘ, όπου Η, Θ τα μέσα των τμημάτων ΚΓ, ΛΒ αντίστοιχα. (Μονάδες 10)
ΘΕΜΑ 2 Έστω κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Σε σημείο Ν του κύκλου φέρουμε την εφαπτόμενή του, και εκατέρωθεν του Ν θεωρούμε σημεία Α και Β, τέτοια ώστε ΝΑ=ΝΒ. Οι ΟΑ και ΟΒ τέμνουν τον κύκλο στα Κ και Λ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 13) β) Το σημείο Ν είναι μέσο του τόξου ΚΛ. (Μονάδες 12)
ΘΕΜΑ 2 Έστω κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Θεωρούμε διάμετρο ΑΒ και τυχαίο σημείο Γ του κύκλου. Αν ΑΕ κάθετο στην ΟΓ και ΓΔ κάθετο στην ΑΟ να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο β) Η ΟΖ διχοτομεί τη γωνία ΟΕ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 13) Λ ΑΟΓ και προεκτεινόμενη διέρχεται από το μέσο του τόξου ΑΓ. (Μονάδες 12)
ΘΕΜΑ 2 Έστω κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Θεωρούμε κάθετες ακτίνες ΟΑ, ΟΓ και εφαπτόμενο στον κύκλο τμήμα ΑΒ με ΑΒ = ΟΓ. α) Να αποδείξετε ότι τα τμήματα ΑΟ και ΒΓ διχοτομούνται. (Μονάδες 10) β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τετραπλεύρου ΑΒΟΓ. (Μονάδες 15)
ΘΕΜΑ 2 Έστω κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Θεωρούμε την ακτίνα ΟΑ και τη χορδή ΒΓ κάθετη στην ΟΑ στο μέσο της Μ. α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΓΟΒ είναι ρόμβος. (Μονάδες 10) β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τετραπλεύρου ΑΓΟΒ. (Μονάδες 15)
ΘΕΜΑ 2 Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ΑΒ = ΑΓ). Στις προεκτάσεις των πλευρών ΑΒ και ΑΓ προς το Α φέρνουμε τμήματα ΒΔ και ΓΕ κάθετα στις ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι Β = ΓΕ. (Μονάδες 10) β) Αν Μ το μέσο της ΒΓ τότε: i. Να αποδείξετε ότι Μ = ΜΕ. (Μονάδες 8) ii. Nα αποδείξετε ότι η ΑΜ διχοτομεί τη γωνία Λ ΜΕ (Μονάδες 7)
ΘΕΜΑ 2 Δίνεται ρόμβος ΑΒΔΓ. Στην προέκταση της διαγωνίου ΑΔ (προς το Δ) παίρνουμε τυχαίο σημείο Ε. Να αποδείξετε ότι: α) Το σημείο Ε ισαπέχει από τις προεκτάσεις των πλευρών ΑΒ και ΑΓ (προς το μέρος των Β και Γ αντίστοιχα). (Μονάδες 10) β) Το σημείο Ε ισαπέχει από τα σημεία Β και Γ. (Μονάδες 15)
ΘΕΜΑ 2 Έστω τρίγωνο ΑΒΔ με Α Λ = 120 ο. Εξωτερικά του τριγώνου κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα Να αποδείξετε ότι: ΑΕΒ και ΑΖ. α) Τα τρίγωνα ΑΕΖ και ΑΒΔ είναι ίσα. (Μονάδες 12) β) Το τετράπλευρο ΒΔΖΕ είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 13)
ΘΕΜΑ 2 Σε κύκλο κέντρου Ο φέρουμε δυο διαμέτρους του ΑΒ και ΓΔ. Να αποδείξετε ότι: α) Οι χορδές ΑΓ και ΒΔ του κύκλου είναι ίσες. (Μονάδες 13) β) Το τετράπλευρο ΑΓΒΔ είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 12)
ΘΕΜΑ 2 Έστω κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Από σημείο Α εκτός του κύκλου, φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα ΑΒ και ΑΓ. Τα σημεία Ε και Δ είναι τα αντιδιαμετρικά σημεία των Β και Γ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΒΕ και ΑΓΔ είναι ίσα. (Μονάδες 13) β) Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ είναι ίσα. (Μονάδες 12)
ΘΕΜΑ 2 Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Β Λ = 90 ο και Ζ το μέσο του ΑΓ. Με υποτείνουσα το ΑΓ κατασκευάζουμε ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο Α Γ με Λ = 90 Ο. α) Να αποδείξετε ότι ΒΖ = Ζ. (Μονάδες 13) β) Αν ο ΑΓΒ=30 Λ, να υπολογίσετε τις γωνίες ΒΑΔ και ΒΓΔ. (Μονάδες 12)
ΘΕΜΑ 2 Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με και Ε τα μέσα των ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα. α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒ = ΑΓ, και γωνία Β Λ ίση με 30 Ο. Θεωρούμε Δ Ε Γείναι ισοσκελές και να υπολογίσετε τις γωνίες του. (Μονάδες 16) β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο Α Ε είναι ισόπλευρο. (Μονάδες 9)
ΘΕΜΑ 2 Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΒΑ (προς το Α) και την πλευρά ΔΓ (προς το Γ) κατά τμήματα ΑΕ = ΑΒ και ΓΖ = Γ. Να αποδείξετε ότι: α) ΒΖ = Ε (Μονάδες 13) β) Το τετράπλευρο ΕΒΖΔ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 12)
ΘΕΜΑ 2 Στο παρακάτω ςχήμα ζχουμε το χάρτη μίασ περιοχήσ όπου είναι κρυμμζνοσ ζνασ θηςαυρόσ. Οι ημιευθείεσ Αx και Αy παριςτάνουν δφο ποτάμια και ςτα ςημεία Β και Γ βρίςκονται δφο πλατάνια. Να προςδιορίςετε γεωμετρικά τισ δυνατζσ θζςεισ του θηςαυροφ, αν είναι γνωςτό ότι: α) ιςαπζχει από τα δφο πλατάνια. (Μονάδεσ 9) β) ιςαπζχει από τα δφο ποτάμια. (Μονάδεσ 9) γ) ιςαπζχει και από τα δφο πλατάνια και από τα δφο ποτάμια. (Μονάδεσ 7) Να αιτιολογήςετε την απάντηςή ςασ ςε κάθε περίπτωςη.
ΘΕΜΑ 2 Δίνεται ιςόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ. Θεωροφμε ςημείο Ε ςτην προζκταςη τησ ΒΑ (προσ το Α) και ςημείο Δ ςτο εςωτερικό τησ πλευράσ ΑΓ, ώςτε ΑΕ=ΑΔ. α) Να υπολογίςετε τισ γωνίεσ του τριγώνου ΑΔΕ. (Μονάδεσ 10) β) Αν Ζ είναι το ςημείο τομήσ τησ προζκταςησ τησ ΕΔ (προσ το Δ) με την ΒΓ, να αποδείξετε ότι η ΕΖ είναι κάθετη ςτην ΒΓ. (Μονάδεσ 15)
ΘΕΜΑ 2 Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με και ˆ φέρουμε το ύψος του ΑΔ και την διάμεσο ΑΜ στην πλευρά ΒΓ. Να αποδείξετε ότι: α) οι γωνίες και είναι ίσες, (Μονάδες 12) β) ˆ 2. (Μονάδες 13)
ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Βˆ =60 Ο. Φέρουμε τα ύψη ΑΕ και ΒΖ του παραλληλογράμμου που αντιστοιχούν στην ευθεία ΔΓ. Να αποδείξετε ότι: α) ΑΔ ΓΖ, (Μονάδες 8) 2 β) το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ίσο με το τρίγωνο ΒΓΖ, (Μονάδες 9) γ) το τετράπλευρο ΑΒΖΕ είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 8)
ΘΕΜΑ 2 Έστω ορθογώνιο ΑΒΓΔ και τα σημεία Ν και Κ των ΑΒ και ΔΓ αντίστοιχα, τέτοια ώστε ΑΝ = ΚΓ. α) Να αποδείξετε ότι: i. τα τρίγωνα ΑΝΔ και ΒΓΚ είναι ίσα, (Μονάδες 8) ii. το τετράπλευρο ΝΒΚΔ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 8) β) Αν Ε και Ζ είναι τα μέσα των ΝΔ και ΔΚ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΝΚΖΕ είναι τραπέζιο. (Μονάδες 9)
ΘΕΜΑ 2 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( φέρουμε την παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την ΑΓ στο Ε. 0 90 ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας Α. Από το σημείο Δ α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΕΔΓ είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 9) β) Να υπολογίσετε τη γωνία ΑΔΕ. (Μονάδες 9) γ) Αν η γωνία είναι 20 μοίρες μεγαλύτερη της γωνίας ˆ, να υπολογίσετε τη γωνία. (Μονάδες 7)
ΘΕΜΑ 2 Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ ) με ΑΒ=8 και ΔΓ=12. Αν ΑΗ και ΒΘ τα ύψη του τραπεζίου, α) να αποδείξετε ότι ΔΗ = ΘΓ. (Μονάδες 12) β) να υπολογίσετε τη διάμεσο του τραπεζίου. (Μονάδες 13)
ΘΕΜΑ 2 Στο παρακάτω ςχήμα η ευθεία ε εφάπτεται του κφκλου (O,ρ) ςτο ςημείο Γ. α) Να υπολογίςετε τισ γωνίεσ x,y και ω δικαιολογώντασ ςε κάθε περίπτωςη την απάντηςή ςασ. (Μονάδεσ 15) β) Να βρείτε το είδοσ του τριγώνου ΟΑΓ ωσ προσ τισ πλευρζσ. (Μονάδεσ 10)
ΘΕΜΑ 2 Ζςτω κφκλοσ κζντρου Κ, μια διάμετρόσ του ΒΓ και ςημείο Α του κφκλου τζτοιο ώςτε ΒΑ=ΚΓ. Αν Δ τυχαίο ςημείο του κφκλου διαφορετικό των Β και Γ, α) να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΒΚΑ είναι ιςόπλευρο. (Μονάδεσ 7) β) να υπολογίςετε την γωνία ˆ. (Μονάδεσ 9) γ) να υπολογίςετε τισ γωνίεσ του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδεσ 9)
ΘΕΜΑ 2 ΓΔ Στο τραπζηιο του παρακάτω ςχιματοσ ζχουμε ΑΒ=ΑΔ=, 2 o Δ 60 και Μ το μζςο τθσ πλευράσ ΓΔ. Να αποδείξετε ότι: α) θ ΔΒ είναι διχοτόμοσ τθσ γωνίασ Δ, (Μονάδεσ 9) β) θ ΒΜ χωρίηει το τραπζηιο ςε ζνα ρόμβο και ζνα ιςόπλευρο τρίγωνο. (Μονάδεσ 16) Α Β Γ M Γ
ΘΕΜΑ 2 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). Στα σημεία Β και Γ της ΒΓ φέρουμε προς το ίδιο μέρος της ΒΓ, τα τμήματα ΒΔ και ΓΕ ΒΓ τέτοια ώστε ΒΔ=ΓΕ. Αν Μ το μέσο της ΒΓ, να αποδείξετε ότι : α) τα τρίγωνα ΒΔΜ και ΓΕΜ είναι ίσα, (Μονάδες 12) β) ΑΔ=ΑΕ. (Μονάδες 13)
ΘΕΜΑ 2 Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ). α) Να αποδείξετε ότι τα μέσα Δ και Ε των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα, ισαπέχουν από τη βάση ΒΓ. (Μονάδες 13) β) Αν A 75 B, να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 12)
ΘΕΜΑ 2 Στο παρακάτω ςχιμα, να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ιςοςκελζσ, (Μονάδεσ 12) β) θ γωνία ΑΕΔ είναι ορκι. (Μονάδεσ 13)
ΜΑΘΗΜΑ ΤΥΠΟΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟΧΟΙ του Π.Σ. Μακθματικά: Γεωμετρία ΓΕΛ Tl. Ταξινομοφν τα τρίγωνα με βάςθ τισ ςχζςεισ των πλευρϊν και το είδοσ των γωνιϊν του, αναγνωρίηουν τα δευτερεφοντα ςτοιχεία του τριγϊνου (διάμεςοσ, διχοτόμοσ φψοσ) με βάςθ τουσ αντίςτοιχουσ οριςμοφσ, τα ςχεδιάηουν και τα ςυμβολίηουν. ΠΕ3. Αποδεικνφουν και χρθςιμοποιοφν ςτθν επίλυςθ προβλθμάτων τθν πρόταςθ για το άκροιςμα γωνιϊν τριγϊνου.
Εκφώνθςθ Δραςτθριότθτασ Δίνεται ορκογϊνιο τρίγωνο ΑΒΓ με µα 90 και Ζ το ςθμείο τομισ του φψουσ του ΑΔ και τθσ διχοτόμου του ΒΕ. i)να αποδείξετε ότι ΑΕ ΑΖ. ii)αν το τρίγωνο ΑΕΖ είναι ιςόπλευρο, να υπολογίςετε τισ γωνίεσ µ Β και µ Γ. Ενδεικτικι Απάντθςθ Α Β 2 1 2 1 1 Ζ Δ 1 Ε Γ i)για να αποδείξουμε ότι το τρίγωνο ΑΕΖ είναι ιςοςκελζσ με ΑΔ ΑΕ, αρκεί να αποδείξουμε ότι Δ µ µ 1 Ε 1. Προσ τοφτο, παρατθροφμε ότι οι γωνίεσ Δ µ 1 και Β µ 2 είναι οι οξείεσ γωνίεσ του ορκογωνίου τριγϊνου ΑΕΒ. Επομζνωσ, Δµ µ 1 90 Β2(1) Επίςθσ, Ε µ µ 1 Ε2, ωσ κατακορυφιν και Εµ µ 2 90 Β1(2)αφοφ το τρίγωνο ΒΔΖ είναι ορκογϊνιο. Όμωσ, θβε είναι διχοτόμοσ τθσ γωνίασ µ Β και ςυνεπϊσ Βµ µ 1 Β2(3) Από τισ ςχζςεισ(1), (2) και (3) ςυμπεραίνουμε ότι Β µ µ 1 Β2. ii)aν το τρίγωνο ΑΕΖ είναι ιςόπλευρο,
τότε Α µ 1 60. Και επειδι το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ορκογϊνιο με Γ µ 90 ςυμπεραίνουμε ότι $ Γ 90 Αµ 1 90 60 30. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι επίςθσ ορκογϊνιο με Α µ 90. Επομζνωσ, µβ 90 $ Γ 90 30 60. ΘΕΜΑ 4 ΓΝΩΣΤΙΚΗ ΑΠΑΙΤΗΣΗ (4,2),(4,5),(4,8) 2. Να ςυνκζτουν τισ γνϊςεισ που διακζτουν για τθν επίλυςθ ενόσ μθ οικείου προ-βλιματοσ. 5. Να διερευνοφν και να διατυπώνουν εικαςίεσ τισ οποίεσ να αποδεικνφουν επι-λζγοντασ τθν κατάλλθλθ ςτρατθγικι. 8. Να προςαρμόηουν τθ λφςθ ενόσ προβλιματοσ όταν τα δεδομζνα τθσ εκφϊνθ-ςθσ μεταβάλλονται.
ΘΕΜΑ 2 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ και Μ το μζςο τησ ΒΓ. Προεκτείνουμε τη διάμεςο ΑΜ κατά τμήμα ΜΔ=ΜΑ. Από το Α φζρουμε παράλληλη προσ τη ΒΓ η οποία τζμνει την προζκταςη τησ ΔΓ ςτο ςημείο Ε. Να αποδείξετε ότι: α) το τετράπλευρο ΑΒΔΓ είναι παραλληλόγραμμο, (Μονάδεσ 12) β) (Μονάδεσ 13)
ΘΕΜΑ 2 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ τέτοιο, ώστε AΓ AB.Στην πλευρά ΑΒ θεωρούμε σημείο Δ τέτοιο ώστε AΔ AΓ και στην προέκταση της ΒΑ (προς το Α) θεωρούμε σημείο Ε τέτοιο ώστε AE AΓ. Να αποδείξετε ότι: α) ΔΓ EΓ, (Μονάδες 12) β) η γωνία ΕΑΓ είναι διπλάσια της γωνίας ΑΔΓ. (Μονάδες 13)
ΘΕΜΑ 2 Έστω κύκλος κέντρου Ο και διαμέτρου ΒΓ. Θεωρούμε τα σημεία Α και Δ του κύκλου εκατέρωθεν της ΒΓ, τέτοια ώστε το τόξο ΒΔ να είναι διπλάσιο του τόξου ΔΓ. Να υπολογίσετε: α) το μέτρο X του τόξου ΓΔ, (Μονάδες 8) β) τη γωνία ΒΟΔ, (Μονάδες 9) γ) τη γωνία ΒΑΔ. (Μονάδες 8) ΜΑΘΗΜΑ ΤΥΠΟΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟΧΟΙ του Π.Σ. Μαθηματικά: Γεωμετρία ΓΕΛ Εγl. Διερευνούν και αποδεικνύουν τις σχέσεις εγγεγραμμένης και αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας καθώς και τη σχέση τους με τη γωνία χορδής και εφαπτομένης. Χρησιμοποιούν τις παραπάνω σχέσεις στην επίλυση προβλημάτων.
Εκφώνηση Δραστηριότητας Στο παρακάτω σχήμα η ΒΓ είναι διάμετρος και το σημείο Ο είναι το κέντρο του κύκλου. Να βρείτε: i)το μέτρο x του τόξου ΓΔ ii)τη γωνία Ο 1 iii)τη γωνία Α 1. Α 1 B Ο 1 Γ 2x Δ x Ενδεικτική Απάντηση i)η ΒΓ είναι διάμετρος του κύκλου. Επομένως, ΒΔ ΔΓ 180 2x x 180 3x 180 x 60. ii)αποδείξαμε ότι x 60. Άρα, O1 BΔ 2x 2 60 120. iii)η γωνία Α 1 είναι εγγεγραμμένη και βαίνει στο τόξο BΔ. Επομένως, O1 120 Α1 60 2 2 ΘΕΜΑ 2 ΓΝΩΣΤΙΚΗ ΑΠΑΙΤΗΣΗ (2,1),(2,2),(2,5) 1. Να εφαρμόζουν κατάλληλα ορισμούς, θεωρίες, αλγόριθμους σε προβλήματα παρόμοια με αυτά που έχουν διδαχθεί στην τάξη. 2. Να ερμηνεύουν έναν απλό ισχυρισμό που διατυπώνεται στην εκφώνηση του προβλήματος μεταφράζοντάς τον σε μαθηματικό μοντέλο.. 5. Να συλλέγουν και να ερμηνεύουν δεδομένα.
ΜΑΘΗΜΑ ΤΥΠΟΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟΧΟΙ του Π.Σ. Μαθηματικά: Γεωμετρία ΓΕΛ ΠΕl. Διερευνούν, προσδιορίζουν και αποδεικνύουν κριτήρια παραλληλίας δύο ευθειών μέσω των σχέσεων γωνιών που σχηματίζουν αυτές με μια τέμνουσα. Αποκτούν μια πρώτη αίσθηση του ρόλου του «αιτήματος παραλληλίας» στην
Εκφώνηση Δραστηριότητας ιστορική εξέλιξη και τη φύση της Γεωμετρίας. Αποδεικνύουν και χρησιμοποιούν βασικές ιδιότητες των παραλλήλων. ΠΤ2. Αναγνωρίζουν τα είδη των παραλληλογράμμων (ορθογώνιο, ρόμβος, τετράγωνο) με βάση τον ορισμό τους και τα αντίστοιχα κριτήρια. Χρησιμοποιούν τις ιδιότητες τους στην επίλυση προβλημάτων. Εγl. Διερευνούν και αποδεικνύουν τις σχέσεις εγγεγραμμένης και αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας καθώς και τη σχέση τους με τη γωνία χορδής και εφαπτομένης. Χρησιμοποιούν τις παραπάνω σχέσεις στην επίλυση προβλημάτων. Εγ2. Διερευνούν, προσδιορίζουν και αποδεικνύουν βασικές ιδιότητες των εγγεγραμμένων και τα κριτήρια εγγραψιμότητας τετραπλεύρων. Χρησιμοποιούν τις σχετικές προτάσεις στην επίλυση προβλημάτων. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και το μέσο Μ της πλευράς του ΒΓ. Αν Ε είναι η προβολή του σημείου Δ πάνω στην ΑΜ, να αποδείξετε ότι: i) AΜB ΔΜΓ ii)το τετράπλευρο ΔΕΜΓ είναι εγγράψιμο iii)γε = ΓΔ. Ενδεικτική Απάντηση i)tα τρίγωνα ΑΒΜ και ΔΓΜ έχουν: Β Γ 90, αφού το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο. ΑΒ ΔΓ, ως απέναντι πλευρές του τετραγώνου ΑΒΓΔ. ΒΜ ΜΓ, αφού το σημείο Μ είναι μέσο του ΒΓ. Επομένως, τα τρίγωνα ΑΒΜ και ΔΓΜ είναι ίσα και συνεπώς ΑΜΒ ΔΜΓ.
ii)στο τετράπλευρο ΔΕΜΓ έχουμε Ε Γ 90 90 180. Άρα, το τετράπλευρο ΔΕΜΓ είναι εγγράψιμο. iii)αρκεί να αποδείξουμε ότι το τρίγωνο ΔΓΕ είναι ισοσκελές με Δ1 Ε 1. Προς τούτο, παρατηρούμε ότι Δ1 ΑΜΒ, ως οξείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες. Επίσης, Ε1 ΔΜΓ αφού το τετράπλευρο ΔΕΜΓ είναι εγγράψιμο. Όμως, στο ερώτημα i) αποδείξαμε ότι ΑΜΒ ΔΜΓ. Επομένως, Δ1 Ε1που είναι η ζητούμενη σχέση. ΘΕΜΑ 4 ΓΝΩΣΤΙΚΗ ΑΠΑΙΤΗΣΗ (4,1),(4,2),(4,5),(4,6) 1. Να προσαρμόζουν τα διαθέσιμα μαθηματικά εργαλεία στις ιδιαιτερότητες της κατάστασης που διερευνούν. 2. Να συνθέτουν τις γνώσεις που διαθέτουν για την επίλυση ενός μη οικείου προ-βλήματος. 5. Να διερευνούν και να διατυπώνουν εικασίες τις οποίες να αποδεικνύουν επι-λέγοντας την κατάλληλη στρατηγική. 6. Να αξιολογούν την αξιοπιστία μιας πληροφορίας, την αποτελεσματικότητα μιας στρατηγικής ή την ορθότητα μιας απόδειξης.
ΘΕΜΑ 2 Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι τριγώνου ΔΕΓ. ˆ 120 0 B και. Έστω ΕΖ η διάμεσος του α) Να υπολογίσετε τις γωνίες Α και Γ του παραλληλογράμμου. (Μονάδες 8) β) Αν Κ είναι το μέσο της πλευράς ΑΒ, να αποδείξετε ότι ΕΖ=ΑΚ. (Μονάδες 9) γ) Να υπολογίσετε τη γωνία ΕΖΓ. (Μονάδες 8)
ΘΕΜΑ 2 Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α=90 0 ) και η διχοτόμος του ΒΔ. Από το Δ φέρουμε ΔΕ ΒΓ που τέμνει την προέκταση της ΑΒ (προς το Α) στο Ζ. Να αποδείξετε ότι: α) ΒΕ=ΑΒ, (Μονάδες 12) β) το τρίγωνο BΓΖ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 13)
Στο τρίγωνο ΑΒΓ του παρακάτω σχήματος, η κάθετη από το μέσο Μ της ΒΓ τέμνει την προέκταση της διχοτόμου ΑΔ στο σημείο Ε. Αν Θ, Ζ είναι οι προβολές του Ε στις ΑΒ, ΑΓ, να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΕΒΓ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 5) β) Τα τρίγωνα ΘΒΕ και ΖΓΕ είναι ίσα. (Μονάδες 8) ο γ) ΑΓΕ ˆ + ΑΒΕ ˆ = 180 (Μονάδες 12)
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με, το ύψος του ΑΔ και σημείο Ε στην ΔΓ ώστε ΔΕ=ΒΔ. Το σημείο Ζ είναι η προβολή του Γ στην ΑΕ. α) Να αποδείξετε ότι: i. Το τρίγωνο ΑΒΕ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 6) ii. ΓΑΕ ˆ 10 ο =. (Μονάδες 10) β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΖΓΕ. (Μονάδες 9)
Σε μια τάξη της Α' Λυκείου στο μάθημα της Γεωμετρίας ο καθηγητής έδωσε στους μαθητές του το παρακάτω πρόβλημα: Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και μία ευθεία (ε) που διέρχεται από την κορυφή Α και είναι παράλληλη στην πλευρά ΒΓ. Στο τρίγωνο ΑΒΓ η εξωτερική γωνία ˆΓ του τριγώνου είναιδιπλάσια της εσωτερικής γωνίας Â. Ζητείται, χωρίς την βοήθεια γεωμετρικών οργάνων, να χαραχθεί η διάμεσος ΒΜ του τριγώνου και η διχοτόμος της εξωτερικής γωνίας ˆΓ. Ο καθηγητής για να διευκολύνει τους μαθητές του, έδωσε την εξής υπόδειξη: «Αν πάρω στην ευθεία (ε), στο ημιεπίπεδο (ΑΒ, Γ) ένα σημείο Δ τέτοιο ώστε ΑΔ = ΒΓ τότε: α) η ΒΔ τέμνει την ΑΓ στο μέσο Μ, (Μονάδες 12) β) η ΓΔ είναι η ζητούμενη διχοτόμος. (Μονάδες 13) Μπορείτε να δικαιολογήσετε τους ισχυρισμούς αυτούς; 32
Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και στο εσωτερικό του θεωρούμε τα σημεία Γ, Δ ώστε να ισχύει ΑΓ= ΓΔ= ΔΒ. Επίσης θεωρούμε σημείο Ο εκτός του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ έτσι ώστε να ισχύουν ΟΓ=ΑΓ και ΟΔ=ΔΒ. α) Να αποδείξετε ότι: i. η γωνία ˆ ΓΟΔείναι 60 0 (Μονάδες 9) ii. οι γωνίες ˆ ΟΑΓ, ˆ ΟΒΔ είναι ίσες και κάθε μια ίση με 30 0. (Μονάδες 9) β) Αν Μ το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, να αποδείξετε ότι 2ΟΜ=ΟΑ. (Μονάδες 7)
Σε τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) είναι ΓΔ= 2ΑΒ. Επίσης τα Ζ, Η, Ε είναι τα μέσα των ΑΔ, ΒΓ και ΔΓ αντίστοιχα. Ακόμη η ΖΗ τέμνει τις ΑΕ, ΒΕ στα σημεία Θ, Ι αντίστοιχα. α) Να δείξετε ότι, το τετράπλευρο ΑΒΓΕ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 10) β) Να δείξετε ότι, τα σημεία Θ, Ι είναι μέσα των ΑΕ, ΒΕ αντίστοιχα. (Μονάδες 5) γ) Να δείξετε ότι ΖΗ = 3 2 ΑΒ. (Μονάδες 10)
Δίνεται κύκλος με κέντρο Ο, και έστω ΑΒ μια διάμετρος του, Γ το μέσο του ενός ημικυκλίου του και Δ τυχαίο σημείο του άλλου. Στην προέκταση της ΔΒ (προς το Β) θεωρούμε σημείο Ε ώστε ΒΕ=ΑΔ. α) Να αποδείξετε ότι: i. Τα τρίγωνα ΑΔΓ και ΒΕΓ είναι ίσα. (Μονάδες 8) ii. Η ΓΔ είναι κάθετη στην ΓΕ. (Μονάδες 8) β) Να αιτιολογήσετε γιατί, στην περίπτωση που το σημείο Δ είναι το αντιδιαμετρικό του Γ, η ΓΕ είναι εφαπτομένη του κύκλου. (Μονάδες 9)
Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει Α ˆ + Γ ˆ = 2Β ˆ και έστω ΑΔ ύψος και ΒΕ διχοτόμος του τριγώνου που τέμνονται στο Ζ. α) Να αποδείξετε ότι: i. ii. ˆΒ 60 ο = και ΑΖ=ΒΖ. (Μονάδες 10) 3 Α = ΒΖ (Μονάδες 8) 2 β) Αν είναι γνωστό ότι το τρίγωνο ΑΖΕ είναι ισόπλευρο, να υπολογίσετε τις άλλες γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 7)
Στην παρακάτω εικόνα φαίνεται μια κρεμάστρα τοίχου η οποία αποτελείται από έξι ίσα ευθύγραμμα κομμάτια ξύλου (ΑΔ, ΒΓ, ΓΖ, ΔΗ, ΖΚ, ΗΛ) που είναι στερεωμένα με έντεκα καρφιά (Α, Β, Γ, Δ, Θ, Ε, Μ, Η, Κ, Λ, Ζ). Αν το σημείο Θ, είναι μέσο των τμημάτων ΑΔ και ΒΓ ενώ το σημείο Ε είναι μέσο των τμημάτων ΓΖ και ΔΗ, να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΓΗΖΔ είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 10) β) Τα σημεία Β, Δ, Ζ είναι συνευθειακά. (Μονάδες 9) γ) Το τετράπλευρο ΑΓΖΔ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 6)
Δίνεται ευθεία (ε) και δυο σημεία Α, Β εκτός αυτής έτσι ώστε η ευθεία ΑΒ να μην είναι κάθετη στην (ε). Φέρουμε ΑΔ, ΒΓ κάθετες στην (ε) και Μ, Ν μέσα των ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα. α) Αν τα Α, Β είναι στο ίδιο ημιεπίπεδο σε σχέση με την (ε) i) να εξετάσετε αν το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι, παραλληλόγραμμο, τραπέζιο ή ορθογώνιο σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις, αιτιολογώντας την απάντησή σας: 1) ΑΔ < ΒΓ (Μονάδες 4) 2) ΑΔ = ΒΓ. (Μονάδες 4) ii) να εκφράσετε το τμήμα ΜΝ σε σχέση με τα τμήματα ΑΔ, ΒΓ στις δυο προηγούμενες περιπτώσεις. (Μονάδες 6) β) Αν η ευθεία (ε) τέμνει το τμήμα ΑΒ στο μέσο του Μ να βρείτε το είδος του τετραπλεύρου ΑΓΒΔ (παραλληλόγραμμο, τραπέζιο, ορθογώνιο) και να δείξετε ότι τα Μ, Ν ταυτίζονται. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9+2)
Στο παρακάτω σχήμα δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, τα ύψη του ΒΔ και ΓΕ που τέμνονται στο σημείο Η και το μέσο Μ της πλευράς ΒΓ. α) Να αποδείξετε ότι i. ΜΔ=ΜΕ (Μονάδες 10) ii. Η ευθεία ΑΗ τέμνει κάθετα τη ΒΓ και ότι AH =Γ, όπου Γ η γωνία του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 5) γ) Να βρείτε το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΗ. (Μονάδες 10)
Δύο κύκλοι (Κ,ρ), (Λ,R) τέμνονται σε δύο σημεία Α, Β. Αν Γ και Δ είναι τα αντιδιαμετρικά σημεία του Α στους δύο κύκλους, τότε να αποδείξετε ότι: α) ο AB Γ= 90 (Μονάδες 5) β) τα σημεία Γ, Β, Δ είναι συνευθειακά. (Μονάδες 10) γ) το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία Κ,Λ,Γ,Δ είναι τραπέζιο. (Μονάδες 10)
Θεωρούμε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τις προβολές Α, Β, Γ, Δ των κορυφών του Α, Β, Γ, Δ αντίστοιχα, σε μια ευθεία ε. α) Αν η ευθεία ε αφήνει τις κορυφές του παραλληλογράμμου στο ίδιο ημιεπίπεδο και είναι ΑΑ =3, ΒΒ =2, ΓΓ =5, τότε: i. Να αποδείξετε ότι η απόσταση του κέντρου του παραλληλογράμμου από την ε είναι ίση με 4. (Μονάδες 8) ii. Να βρείτε την απόσταση ΔΔ. (Μονάδες 9) β) Αν η ευθεία ε διέρχεται από το κέντρο του παραλληλογράμμου και είναι παράλληλη προς δύο απέναντι πλευρές του, τι παρατηρείτε για τις αποστάσεις ΑΑ, ΒΒ, ΓΓ, ΔΔ ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας (Μονάδες 8)
Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και τα ύψη του ΒΚ και ΓΛ, τα οποία τέμνονται στο Ι. Αν Μ και Ν τα μέσα των ΒΙ και ΓΙ αντίστοιχα, να αποδείξετε: α) Το τρίγωνο ΒΙΓ είναι ισοσκελές (Μονάδες 5) β) Τα τρίγωνα ΒΙΛ και ΓΙΚ είναι ίσα (Μονάδες 5) γ) Το ΑΙ προεκτεινόμενο διέρχεται από το μέσο της πλευράς ΒΓ. (Μονάδες 5) δ) Το τετράπλευρο ΜΛΚΝ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 10)
Εκφώνηση Δραστηριότητας Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και τα ύψη του ΒΚ και ΓΛ, τα οποία τέμνονται στο Ι. Αν Μ και Ν τα μέσα των ΒΙ και ΓΙ αντίστοιχα, να αποδείξετε: α. Το τρίγωνο ΒΙΓ είναι ισοσκελές Μονάδες 5 β. Τα τρίγωνα ΒΙΛ και ΓΙΚ είναι ίσα Μονάδες 5 γ. Το ΑΙ προεκτεινόμενο διέρχεται από το μέσο της πλευράς ΒΓ. Μονάδες 5 δ. Το τετράπλευρο ΜΛΚΝ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο Μονάδες 10 Ενδεικτική Απάντηση ΘΕΜΑ 4 ΓΝΩΣΤΙΚΗ ΑΠΑΙΤΗΣΗ της δραστηριότητας
Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ που είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα ρ. Τα τμήματα ΓΖ και ΒΖ είναι τα εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου στα σημεία Γ και Β αντίστοιχα. Αν το τμήμα ΘΗ είναι κάθετο στο τμήμα ΑΖ στο Ζ, να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΖΒΓ είναι ισόπλευρο. (Μονάδες 7) β) Το τετράπλευρο ΑΓΖΒ είναι ρόμβος. (Μονάδες 8) γ) Το τετράπλευρο ΒΓΗΘ είναι τραπέζιο, με ΒΘ = ΒΖ και ΘΗ= 2 ΒΓ. (Μονάδες 10)
Οι κφκλοι (Κ, ρ) και (Λ, 3ρ) εφάπτονται εξωτερικά ςτο ςημείο Α. Μία ευθεία ε εφάπτεται εξωτερικά και ςτουσ δφο κφκλουσ ςτα ςημεία Β και Γ αντίςτοιχα και τζμνει την προζκταςη τησ διακζντρου ΚΛ ςτο ςημείο Ε. Φζρουμε από το ςημείο Κ παράλληλο τμήμα ςτην ε που τζμνει το τμήμα ΛΓ ςτο Δ. α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΒΓΔΚ είναι ορθογώνιο. (Μονάδεσ 9) β) Να αποδείξετε ότι η γωνία ΔΚΛ είναι 30. (Μονάδεσ 8) γ) Να αποδείξετε ότι το τμήμα ΕΛ=6ρ, όπου ρ η ακτίνα του κφκλου (Κ, ρ). (Μονάδεσ 8)
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( ) και θ διχοτόμοσ του ΒΔ. Από το Δ φζρουμε και ονομάηουμε Ζ το ςθμείο ςτο οποίο θ ευθεία ΕΔ τζμνει τθν προζκταςθ τθσ ΒΑ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΒΕ είναι ιςοςκελζσ. (Μονάδεσ 6) β)τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΕΖ είναι ίςα. (Μονάδεσ 6) γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεςοκάθετθ των τμθμάτων ΑΕ και ΖΓ. (Μονάδεσ 6) δ)το τετράπλευρο ΑΕΓΖ είναι ιςοςκελζσ τραπζηιο. (Μονάδεσ 7)
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ < ΑΓ) και η διχοτόμοσ του ΑΔ. Φζρουμε από το Β κάθετη ςτην ΑΔ που τζμνει την ΑΔ ςτο Ε και την πλευρά ΑΓ ςτο Η. Αν Μ είναι το μζςο τησ πλευράσ ΒΓ, να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΒΗ είναι ιςοςκελζσ. (Μονάδεσ 9) β) ΕΜ//ΗΓ (Μονάδεσ 8) γ) ΕΜ=(ΑΓ-ΑΒ)/2 (Μονάδεσ 8)
Ζςτω ΑΒΓ τρίγωνο και τα φψη του που αντιςτοιχοφν ςτισ πλευρζσ και αντίςτοιχα. Δίνεται η ακόλουθη πρόταςη: Π: Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ιςοςκελζσ με ΑΒ=ΑΓ, τότε τα φψη που αντιςτοιχοφν ςτισ ίςεσ πλευρζσ του είναι ίςα. α) Να εξετάςετε αν ιςχφει η πρόταςη Π αιτιολογϊντασ την απάντηςή ςασ (Μονάδεσ 10) β) Να διατυπϊςετε την αντίστροφη πρόταςη τησ Π και να αποδείξετε ότι ιςχφει. (Μονάδεσ 10) γ) Να διατυπϊςετε την πρόταςη Π και την αντίστροφή της ωσ ενιαία πρόταςη. (Μονάδεσ 5)
Δίνεται οξεία γωνία xoy και δφο ομόκεντροι κφκλοι (Ο, ρ 1 ) και (Ο, ρ 2 ) με ρ 1 < ρ 2, που τζμνουν την Oχ ςτα ςημεία Κ, Α και την Oψ ςτα Λ, Β αντίςτοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) ΑΛ = ΒΚ. (Μονάδεσ 8) β) Το τρίγωνο ΑΡΒ είναι ιςοςκελζσ, όπου Ρ το ςημείο τομήσ των ΑΛ και ΒΚ. γ) Η ΟΡ διχοτομεί την (Μονάδεσ 8) xoy. (Μονάδεσ 9)
α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφζσ τα μζςα πλευρών ιςοςκελοφσ τριγώνου είναι ιςοςκελζσ. (Μονάδεσ 8) β) Να διατυπώςετε και να αποδείξετε ανάλογη πρόταςη για i. ιςόπλευρο τρίγωνο. (Μονάδεσ 8) ii. ορθογώνιο και ιςοςκελζσ τρίγωνο. (Μονάδεσ 9)
Δίνεται τραπζηιο ΑΒΓΔ με A = =90, ΔΓ=2ΑΒ και =3. Από το Β φζρνουμε κάθετθ ςτθ ΓΔ που τζμνει τθν ΑΓ ςτο ςθμείο Κ και τθν ΓΔ ςτο Ε. Επίςθσ φζρνουμε τθν ΑΕ που τζμνει τθ ΒΔ ςτο ςθμείο Λ. Να αποδείξετε ότι: α) =45 (Μονάδεσ 8) β) ΒΔ=ΑΕ (Μονάδεσ 9) 1 γ) ΚΛ= ΔΓ. (Μονάδεσ 8) 4
Ζςτω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Αν τα ςημεία Ε και Η είναι τα μζςα των πλευρών του ΑΒ και ΓΔ αντίςτοιχα, να αποδείξετε ότι : α) Το τετράπλευρο ΔΕΒΗ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδεσ 8) β) ΑΕΔ = ΒΗΓ (Μονάδεσ 8) γ) Οι ΔΕ και ΒΗ τριχοτομοφν τη διαγώνιο ΑΓ του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ. (Μονάδεσ 9)
Στο ορθογώνιο παραλλθλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι Φζρουμε ΔΕ ΑΓ. 30 και Ο το κζντρο του. α) Να αποδείξετε ότι θ γωνία χωρίηεται από τθ ΔΕ και τθ διαγώνιο ΔΒ ςε τρεισ ίςεσ γωνίεσ. (Μονάδεσ 13) β) Φζρουμε κάθετθ ςτθν ΑΓ ςτο ςθμείο Ο θ οποία τζμνει τθν προζκταςθ τθσ ΑΔ ςτο Ζ. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΖΟ και ΑΒΓ είναι ίςα. (Μονάδεσ 12)
Ζςτω ότι Ε και Η είναι τα μζςα των πλευρών ΑΒ και ΓΔ παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ αντίςτοιχα. Αν για το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ επιπλζον ιςχφει ΑΒ>ΑΔ, να εξετάςετε αν είναι αληθείσ ή όχι οι ακόλουθοι ιςχυριςμοί: Ισχυρισμός 1: Το τετράπλευρο ΔΕΒΗ είναι παραλληλόγραμμο. Ισχυρισμός 2: ΑΕΔ = ΒΖΓ. Ισχυρισμός 3: Οι ΔΕ και ΒΗ είναι διχοτόμοι των απζναντι γωνιών ΔκαιΒ. α) Στην περίπτωςη που θεωρείτε ότι κάποιοσ ιςχυριςμόσ είναι αληθήσ να τον αποδείξετε. (Μονάδεσ 16) β) Στην περίπτωςη που κάποιοσ ιςχυριςμόσ δεν είναι αληθήσ, ναβρείτε τη ςχζςη των διαδοχικών πλευρών του παραλληλογράμμου ώςτε να είναι αληθήσ. Να αιτιολογήςετε την απάντηςή ςασ. (Μονάδεσ 9)
Ζςτω ότι Ε και Η είναι τα μζςα των πλευρών ΑΒ και ΓΔ παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ αντίςτοιχα. Αν για το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ επιπλζον ιςχφει ΑΒ>ΑΔ, να εξετάςετε αν είναι αληθείσ οι ακόλουθοι ιςχυριςμοί: Ισχυρισμός 1: Το τετράπλευρο ΔΕΒΗ είναι παραλληλόγραμμο. Ισχυρισμός 2: Τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΒΓΗ είναι ίςα. Ισχυρισμός 3: Τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΒΓΗ είναι ιςοςκελή. α) Στην περίπτωςη που θεωρείτε ότι κάποιοσ ιςχυριςμόσ είναι αληθήσ να τον αποδείξετε. (Μονάδεσ 16) β) Στην περίπτωςη που κάποιοσ ιςχυριςμόσ δεν είναι αληθήσ, να βρείτε τη ςχζςη των διαδοχικών πλευρών του παραλληλογράμμου ώςτε να είναι αληθήσ. Να αιτιολογήςετε την απάντηςή ςασ. (Μονάδεσ 9)
ΘΕΜΑ 2 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Προεκτείνουμε το φψοσ του ΑΗ κατά τμιμα ΗΔ=ΑΗ και τθ διάμεςό του ΑΜ κατά τμιμα ΜΕ=ΑΜ. Να αποδείξετε ότι: α) ΑΒ=ΒΔ=ΓΕ (Μονάδεσ 8) β) (Μονάδεσ 8) γ) Το τετράπλευρο ΒΓΕΔ είναι ιςοςκελζσ τραπζηιο. (Μονάδεσ 9)
Έςτω δυο κάθετεσ ευθείεσ που τζμνονται ςτο Ο και τυχαίο ςημείο Μ του επιπζδου που δεν ανήκει ςτισ ευθείεσ. α) Αν είναι το ςυμμετρικό του Μ ωσ προσ την και το ςυμμετρικό του ωσ προσ την, να αποδείξετε ότι: I. (Μονάδεσ 6) II. Τα ςημεία Μ, Ο και είναι ςυνευθειακά. (Μονάδεσ 8) III. Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. (Μονάδεσ 6) Β) Αν είναι το ςυμμετρικό ςημείο του ωσ προσ την, τι είδουσ παραλληλόγραμμο είναι το ; Να αιτιολογήςετε την απάντηςή ςασ. (Μονάδεσ 5 )
Δίνεται ορκογώνιο ΑΒΓΔ και ζξω από αυτό, καταςκευάηουμε τζςςερα ιςόπλευρα τρίγωνα ΑΒΕ, ΒΓΖ, ΓΔΗ, ΔΑΘ. α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι ρόμβοσ. (Μονάδεσ 15) β) Αν το αρχικό τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο, τότε το ΕΖΗΘ τι είδουσ παραλλθλόγραμμο είναι; Δικαιολογιςτε τθν απάντθςι ςασ. (Μονάδεσ 10)
Θεωροφμε ευκεία (ε) και δυο ςθμεία Α και Β εκτόσ αυτισ, τα οποία βρίςκονται ςτο ίδιο θμεπίπεδο ςε ςχζςθ με τθν (ε) ζτςι ώςτε, θ ευκεία ΑΒ να μθν είναι κάκετθ ςτθν (ε). Έςτω Α και Β τα ςυμμετρικά ςθμεία των Α και Β αντίςτοιχα ωσ προσ τθν ευκεία (ε). α) Αν θ μεςοκάκετοσ του ΑΒ τζμνει τθν ευκεία (ε) ςτο ςθμείο Κ, να αποδείξετε ότι το Κ ανικει και ςτθ μεςοκάκετο του Α Β. (Μονάδεσ 10) β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΒ Α είναι τραπζηιο. (Μονάδεσ 8) γ) Να βρείτε τθ ςχζςθ των ευκειών ΑΒ και τθσ ευκείασ (ε) ώςτε το τετράπλευρο ΑΒΒ Α να είναι ορκογώνιο. Να αιτιολογιςετε τθν απάντθςι ςασ. (Μονάδεσ 7)
Δίνεται τραπζηιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) με τθ γωνία Γ ίςθ με 30 και ζςτω Κ, Λ τα μζςα των διαγωνίων του. Οι μθ παράλλθλεσ πλευρζσ του ΔΑ και ΓΒ προεκτεινόμενεσ τζμνονται κάκετα ςτο ςθμείο Ε. Να αποδείξετε ότι: α) ΑΒ=2ΑΕ (Μονάδεσ 10) β) ΚΛ=ΑΔ (Μονάδεσ 10) γ) Σε ποια περίπτωςθ το ΑΒΛΚ είναι παραλλθλόγραμμο; Να αιτιολογιςετε τθν απάντθςι ςασ. (Μονάδεσ 5)
Δίνεται τραπζηιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) με τθ γωνία Γ ίςθ με 30 και ζςτω Κ, Λ τα μζςα των διαγωνίων του. Οι μθ παράλλθλεσ πλευρζσ του ΔΑ και ΓΒ προεκτεινόμενεσ τζμνονται κάκετα ςτο ςθμείο Ε. Να αποδείξετε ότι: α) ΑΒ=2ΑΕ (Μονάδεσ 10) β) ΚΛ=ΑΔ (Μονάδεσ 10) γ) Σε ποια περίπτωςθ το ΑΒΛΚ είναι παραλλθλόγραμμο; Να αιτιολογιςετε τθν απάντθςι ςασ. (Μονάδεσ 5)
Θεωροφμε ορθογϊνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( και το φψοσ του ΑΗ. Ζςτω Δ και Ε τα ςυμμετρικά ςημεία του Η ωσ προσ τισ ευθείεσ ΑΒ και ΑΓ αντίςτοιχα. α) Να αποδείξετε ότι: I. ΑΗ=ΑΔ=ΑΕ. (Μονάδεσ 6) II. Το τρίγωνο ΕΗΔ είναι ορθογϊνιο (Μονάδεσ 6) III. Τα ςημεία Ε, Α και Δ είναι ςυνευθειακά. (Μονάδεσ 6) β) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΕΗΔ είναι ίςα; Αν ναι, να το αποδείξετε. Αν όχι, κάτω από ποιεσ αρχικζσ προχποθζςεισ θα μποροφςε να είναι ίςα; Να αιτιολογήςετε την απάντηςή ςασ. (Μονάδεσ 7)
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με B =2, και η διχοτόμοσ ΒΔ τησ γωνίασ B. Από το μζςο Μ τησ ΑΓ φζρνουμε παράλληλη ςτη διχοτόμο ΒΔ που τζμνει την πλευρά ΒΓ ςτο Ν. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΒΔΓ είναι ιςοςκελζσ. (Μονάδεσ 5) α) Το τρίγωνο ΜΝΓ είναι ιςοςκελζσ. (Μονάδεσ 10) β) ΑΝ ΒΓ (Μονάδεσ 10)
Σε κφκλο κζντρου Ο θεωροφμε τα ίςα τόξα ΑΒ και ΑΓ, το καθζνα ίςο με 120. Ζςτω Δ και Ε τα μζςα των τόξων ΑΒ και ΑΓ αντίςτοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ιςόπλευρο. (Μονάδεσ 8) β) Τα τρίγωνα ΑΗΔ και ΑΘΕ είναι ίςα και να υπολογίςετε τισ γωνίεσ τουσ. (Μονάδεσ 10) γ) Θ χορδή ΔΕ τριχοτομείται από τισ χορδζσ ΑΒ και ΑΓ. (Μονάδεσ 7)
Δίνονται οι ακόλουθεσ προτάςεισ Π1 και Π2: Π1: Αν ζνα παραλληλόγραμμο είναι ρόμβοσ, τότε οι αποςτάςεισ των απζναντι πλευρών του είναι ίςεσ. Π2: Αν οι αποςτάςεισ των απζναντι πλευρών ενόσ παραλληλογράμμου είναι ίςεσ, τότε το παραλληλόγραμμο είναι ρόμβοσ. α) Να εξετάςετε αν ιςχφουν οι προτάςεισ Π1 και Π2 αιτιολογώντασ πλήρωσ την απάντηςή ςασ. (Μονάδεσ 20) β ) Στην περίπτωςη που και οι δφο προτάςεισ ιςχφουν, να τισ διατυπώςετε ωσ μια ενιαία πρόταςη. (Μονάδεσ 5)
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ζςτω Κ, Λ τα μζςα των πλευρών του ΑΒ και ΑΓ αντίςτοιχα. α) Θεωροφμε τυχαίο ςημείο Μ στο εσωτερικό του τριγώνου και Δ, Ε τα ςυμμετρικά του Μ ωσ προσ Κ και Λ αντίςτοιχα. Να αποδείξετε ότι ΔΕ//ΒΓ. (Μονάδεσ 15) β) Στην περίπτωςη που το σημείο Μ είναι το μέσο τησ πλευράσ ΒΓ, και Δ, Ε τα ςυμμετρικά του Μ ωσ προσ Κ και Λ αντίςτοιχα. Να αποδείξετε ότι τα ςημεία Δ, Α και Ε είναι ςυνευθειακά. (Μονάδεσ 10)
Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ του παρακάτω ςχήματοσ είναι ρόμβοσ. Θεωροφμε ΑΖ ΓΔ και ΑΕ ΓΒ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΖΑΕ είναι ιςοςκελζσ. (Μονάδεσ 6) β) Η ευθεία ΑΓ είναι μεςοκάθετοσ του τμήματοσ ΖΕ. (Μονάδεσ 9) γ) Αν Μ και Ν τα μζςα των πλευρών ΑΔ και ΑΒ αντίςτοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΖΜΝΕ είναι ιςοςκελζσ τραπζηιο. (Μονάδεσ 10)
Δίνεται ευθεία ε του επιπζδου. Τα παράλληλα τμήματα ΑΒ και ΓΔ καθώσ και ζνα τυχαίο ςημείο Ε βρίςκονται ςτο ίδιο ημιεπίπεδο τησ ε. Να αποδείξετε ότι: α) Αν το Ε είναι εκτόσ των τμημάτων ΑΒ και ΓΔ τότε:ω = φ+θ (Μονάδεσ 10) β) Αν το Ε είναι ανάμεςα ςτα τμήματα ΑΒ και ΓΔ και ΕΖ//ΑΒ, τότε να αποδείξετε ότι (Μονάδεσ 15)
Δίνεται ρόμβοσ ΑΒΓΔ με Γ = 120 0. Ζςτω ότι ΑΕ και ΑΗ είναι οι αποςτάςεισ του ςημείου Α ςτισ πλευρζσ ΓΔ και ΓΒ αντίςτοιχα. α) Να αποδείξετε ότι: i. Τα ςημεία Ε και Η είναι τα μζςα των πλευρών ΓΔ και ΓΒ αντίςτοιχα. (Μονάδεσ 8) ii. ΑΓ ΕΖ. (Μονάδεσ 8) β) Αν Μ και Ν τα μζςα των πλευρών ΑΔ και ΑΒ αντίςτοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΜΝΗ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. (Μονάδεσ 9)
Στο ιςοςκελζσ τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) φζρουμε τισ διαμζςουσ ΒΔ και ΓΕ. Μία ευθεία ε παράλληλη ςτη βάςη ΒΓ τζμνει τισ πλευρζσ ΑΒ και ΑΓ ςτα Ζ και Η αντίςτοιχα και τισ διαμζςουσ ΒΔ και ΓΕ ςτα ςημεία Θ και Κ αντίςτοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) ΒΖ=ΓΗ. (Μονάδεσ 8) β) τα τρίγωνα ΖΒΘ και ΗΚΓ είναι ίςα. (Μονάδεσ 9) γ) ΖΚ=ΗΘ. (Μονάδεσ 8)
Δίνεται κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΒΑ = ΒΓ και Α = Γ. Να αποδείξτε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ιςοςκελζσ. (Μονάδεσ 9) β) Οι διαγώνιοι του τετραπλεφρου ΑΒΓΔ τζμνονται κάθετα. (Μονάδεσ 6) γ) Το τετράπλευρο που ζχει για κορυφζσ τα μζςα των πλευρών του ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο. (Μονάδεσ 10)
Στο κυρτό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ ιςχφουν τα εξήσ: α = β, γ = δ και ε = ζ. α) Να υπολογίςετε το άθροιςμα α+ γ + ε. (Μονάδεσ 8) β) Αν οι πλευρζσ ΑΖ και ΔΕ προεκτεινόμενεσ τζμνονται ςτο Η και οι πλευρζσ ΑΒ και ΔΓ προεκτεινόμενεσ τζμνονται ςτο Θ, να αποδείξετε ότι: i. Οι γωνίεσ Α και Η είναι παραπληρωματικζσ (Μονάδεσ 10) ii. Το τετράπλευρο ΑΘΔΗ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδεσ 7)
Δίνεται κφκλοσ (Ο, R) με διάμετρο ΑΒ και δυο ευκείεσ ε 1, ε 2 εφαπτόμενεσ του κφκλου ςτα άκρα τθσ διαμζτρου ΑΒ. Ζςτω ότι, μια τρίτθ ευκεία ε εφάπτεται του κφκλου ς ζνα ςθμείο του Ε και τζμνει τισ ε 1 και ε 2 ςτα Δ και Γ αντίςτοιχα. α) Αν το ςθμείο Ε δεν είναι το μζςο του τόξου ΑΒ, να αποδείξετε ότι: i. Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τραπζηιο. (Μονάδεσ 8) ii. ΓΔ= ΑΔ+ΒΓ. (Μονάδεσ 8) β) Αν το ςθμείο Ε βρίςκεται ςτο μζςον του τόξου ΑΒ, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΔΓΒ είναι ορκογώνιο. Στθν περίπτωςθ αυτι να εκφράςετε τθν περίμετρο του ορκογωνίου ΑΔΓΒ ωσ ςυνάρτθςθ τθσ ακτίνασ R του κφκλου. (Μονάδεσ 9)
Στο τετράγωνο ΑΒΓΔ ονομάηουμε Ο το κζντρο του και κεωροφμε τυχαίο ςθμείο Ε του τμιματοσ ΟΔ. Φζρνουμε τθν κάκετθ από το Β ςτθν ΑΕ, που τζμνει το τμιμα ΑΟ ςτο Ζ. Να αποδείξετε ότι: α) Οι γωνίεσ ω και φ του παρακάτω ςχιματοσ είναι ίςεσ. (Μονάδεσ 6) β) ΒΖ=ΑΕ και ΓΖ=ΒΕ (Μονάδεσ 12) γ) Το τμιμα ΕΖ είναι κάκετο ςτο ΑΒ. (Μονάδεσ 7)
Θεωροφμε δυο ςθμεία Α και Β τα οποία βρίςκονται ςτο ίδιο μζροσ ωσ προσ μια ευθεία (ε), τζτοια ώςτε θ ευθεία ΑΒ δεν είναι κάθετθ ςτθν (ε). Έςτω Α το ςυμμετρικό του Α ωσ προσ τθν ευθεία (ε). α) Αν θ Α Β τζμνει τθν ευθεία (ε) ςτο ςθμείο Ο, να αποδείξετε ότι: i. Η ευθεία (ε) διχοτομεί τθ γωνία ΑΟΑ. (Μονάδεσ 6) ii. Οι θμιευθείεσ ΟΑ και ΟΒ ςχθματίηουν ίςεσ οξείεσ γωνίεσ με τθν ευθεία (ε) (Μονάδεσ 6) β) Αν Κ είναι ζνα άλλο ςθμείο πάνω ςτθν ευθεία (ε), να αποδείξετε ότι: i. ΚΑ = ΚΑ (Μονάδεσ 6) ii. ΚΑ + ΚΒ > ΑΟ + ΟΒ (Μονάδεσ 7)
Στο τετράγωνο ΑΒΓΔ προεκτείνουμε την πλευρά ΑΒ κατά τμήμα ΒΝ=ΑΒ και την πλευρά ΒΓ κατά τμήμα ΓΜ=ΑΝ. α) Να αποδείξετε ότι: i. ΔΝ=ΔΜ (Μονάδεσ 7) ii. ΔΝ ΔΜ (Μονάδεσ 10) β) Αν Ε το ςυμμετρικό ςημείο του Δ ωσ προσ την ευθεία ΜΝ, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΔΜΕΝ είναι τετράγωνο. (Μονάδεσ 8)
Ζςτω ότι ο κφκλοσ (Ο, ρ) εφάπτεται των πλευρών του τριγώνου ΡΓΕ ςτα ςημεία Α, Δ και Β. α) Να αποδείξετε ότι: I. ΡΓ = ΓΔ + ΑΡ (Μονάδεσ 6) II. ΡΓ ΓΔ = ΡΕ ΔΕ (Μονάδεσ 8) β) Αν ΑΓ=ΒΕ, να αποδείξετε ότι I. Το τρίγωνο ΡΓΕ είναι ιςοςκελζσ. (Μονάδεσ 6) II. Τα ςημεία Ρ, Ο και Δ είναι ςυνευθειακά. (Μονάδεσ 5)
Θεωροφμε κφκλο κζντρου Ο και εξωτερικό ςημείο του Ρ. Από το Ρ φζρνουμε τα εφαπτόμενα τμήμα ΡΑ και ΡΒ. Η διακεντρική ευθεία ΡΟ τζμνει τον κφκλο ςτο ςημείο Λ. Η εφαπτόμενη του κφκλου ςτο Λ τζμνει τα ΡΑ και ΡΒ ςτα ςημεία Γ και Δ αντίςτοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΡΓΔ είναι ιςοςκελζσ. (Μονάδεσ 10) β) ΓΑ= ΔΒ. (Μονάδεσ 8) γ) η περίμετροσ του τριγώνου ΡΓΔ είναι ίςη με ΡΑ + ΡΒ. (Μονάδεσ 7)
Από ςημείο Μ εξωτερικό κφκλου (Ο,ρ) φζρνουμε τισ εφαπτόμενεσ ΜΑ και ΜΒ του κφκλου. Αν Γ είναι το ςυμμετρικό ςημείο του κζντρου Ο ωσ προσ την ΜΒ, να αποδείξετε ότι: α) ΜΑ=ΜΒ=ΜΓ (Μονάδεσ 9) β) η γωνία ΑΜΓείναι τριπλάςια τησ γωνίασ ΒΜΓ. (Μονάδεσ 9) γ) το τετράπλευρο ΑΜΒΟ είναι εγγράψιμο ςε κφκλο και να προςδιορίςετε το κζντρο του κφκλου. (Μονάδεσ 7)
Δίνεται ιςοςκελζσ τρίγωνο ΑΒΓ και το φψοσ του ΑΔ. Στο ΑΔ θεωροφμε ςημείο Θ τζτοιο ϊςτε ΘΑ=ΘΒ. Ζςτω ότι Ε είναι το ςημείο τομήσ τησ ΒΘ με την ΑΓ. Φζρνουμε την ΑΗ κάθετη ςτην ΒΕ, η οποία τζμνει την πλευρά ΒΓ ςτο Θ. α) Να αποδείξετε ότι: i. Τα τρίγωνα ΘΔΒ και ΘΗΑ είναι ίςα. (Μονάδεσ 6) ii. ΔΘ=ΘΗ. (Μονάδεσ 6) iii. Θ ευθεία ΘΘ είναι μεςοκάθετοσ του τμήματοσ ΑΒ. (Μονάδεσ 6) β) Ποιο από τα ςημεία του ςχήματοσ είναι το ορθόκεντρο του τριγϊνου ΑΘΒ ; Να δικαιολογήςετε την απάντηςή ςασ. (Μονάδεσ 7)
Σε ιςοςκελζσ τραπζηιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) είναι ΑΒ=ΑΔ. α) Να αποδείξετε ότι θ ΒΔ είναι διχοτόμοσ τθσ γωνίασ Δ. (Μονάδεσ 7) β) Να προςδιορίςετε τθ θζςθ ενόσ ςθμείου Ε, ώςτε το τετράπλευρο ΑΒΕΔ να είναι ρόμβοσ. (Μονάδεσ 10) γ) Αν επιπλζον είναι γωνία ΒΑΔ=120 και οι διαγώνιοι του ρόμβου τζμνονται ςτο ςθμείο Ο, να υπολογίςετε τισ γωνίεσ του τετραπλεφρου ΕΟΒΓ. (Μονάδεσ 8)
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ. Ζςτω Αx η εξωτερική διχοτόμοσ τησ γωνίασ A. α) Να αποδείξετε ότι: i. ˆ ˆ ˆ ˆ 180, όπου 2 2 ˆ και ˆ παριςτάνουν τισ εξωτερικζσ γωνίεσ των ˆ, ˆ αντίςτοιχα. (Μονάδεσ 10) ii. Θ εξωτερική διχοτόμοσ τησ γωνίασ Α τζμνει την προζκταςη τησ πλευράσ ΓΒ (προσ το μζροσ του Β) ςε ςημείο Η. (Μονάδεσ 8) β) Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο ςτο Α και 15, να αποδείξετε ότι ΒΓ=2ΑΒ. (Μονάδεσ 7)
Θεωξνύκε ηξαπέδην ΑΒΓΓ, ηέηνην ώζηε ˆ ˆ 90, θέξνπκε. 1 θαη 4 1. Δπηπιένλ, 3 α) Να απνδείμεηε όηη ην ηεηξάπιεπξν ΑΒΔΓ είλαη νξζνγώλην. (Μνλάδεο 6) β) Να απνδείμεηε όηη ην ηξίγωλν ΒΔΓ είλαη νξζνγώλην θαη ηζνζθειέο. (Μνλάδεο 10) γ) Αλ Κ, Λ είλαη ηα κέζα ηωλ ΒΔ θαη ΑΓ αληίζηνηρα, λα απνδείμεηε όηη ε ΑΓ δηέξρεηαη από ην κέζν ηνπ επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο ΒΚ. (Μνλάδεο 9)
Δίνεται κφκλοσ (Ο, R) με διάμετρο ΑΒ και ευθείεσ ε 1, ε 2 εφαπτόμενεσ του κφκλου ςτα άκρα τθσ διαμζτρου ΑΒ. Θεωροφμε ευθεία ε εφαπτομζνθ του κφκλου ςε ςθμείο του Ε, θ οποία τζμνει τισ ε 1 και ε 2 ςτα Δ και Γ αντίςτοιχα. α) Να αποδείξετε ότι: i. Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τραπζηιο. (Μονάδεσ 6) ii. ΓΔ= ΑΔ + ΒΓ (Μονάδεσ 7) iii. Το τρίγωνο ΓΟΔ είναι ορθογώνιο. (Μονάδεσ 7) β) Αν θ γωνία ΑΔΕ είναι 60 ο και θ ΟΔ τζμνει τον κφκλο (Ο, R) ςτο ςθμείο Κ, να αποδείξετε ότι το Κ είναι μζςο του ΔΟ. (Μονάδεσ 5)
Σε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με γωνία Α αμβλεία, ιςχφει ότι ΑΒ=2ΑΔ. Τα ςημεία Ε και Ζ, είναι μζςα των πλευρών του ΑΒ και ΓΔ αντίςτοιχα. Από το Δ φζρουμε τη ΔΗ κάθετη ςτην προζκταςη τησ ΒΓ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΑΕΖΔ είναι ρόμβοσ. (Μονάδεσ 8) β) Το τρίγωνο ΕΖΗ είναι ιςοςκελζσ. (Μονάδεσ 9) γ) Το τμήμα ΗΕ, είναι διχοτόμοσ τησ γωνίασ Ζ Γ. (Μονάδεσ 8)
Δίνεται ιςοςκελζσ τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και ΑΜ το φψοσ του ςτην πλευρά ΒΓ. Στην προζκταςη του ΑΜ θεωροφμε τμήμα ΜΝ=ΑΜ. Στην προζκταςη του ΒΓ προσ το μζροσ του Γ θεωροφμε τμήμα ΓΔ =ΒΓ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΑΒΝΓ ρόμβοσ. (Μονάδεσ 8) β) Το τρίγωνο ΑΔΝ είναι ιςοςκελζσ. (Μονάδεσ 8) γ) Το ςημείο Γ είναι το βαρφκεντρο του τριγϊνου ΑΔΝ. (Μονάδεσ 9)
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με γωνία Α ίςη με 120 και γωνία Β είναι ίςη με 45 ο. Στην προζκταςη τησ ΒΑ προσ το Α, παίρνουμε τμήμα ΑΔ = 2ΑΒ. Από το Δ φζρνουμε την κάθετη ςτην ΑΓ που την τζμνει ςτο ςημείο Κ. Να αποδείξετε ότι: α) Η γωνία ΑΔΚ είναι ίςη με 30 ο. (Μονάδεσ 6) β) Το τρίγωνο ΚΑΒ είναι ιςοςκελζσ. (Μονάδεσ 6) γ) Αν Ζ το μζςο τησ ΔΑ, τότε =90 ο. (Μονάδεσ 6) δ) Το ςημείο Κ ανήκει ςτη μεςοκάθετο του τμήματοσ ΒΔ. (Μονάδεσ 7)
Δίνεται τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ και η διάμεςόσ του ΑΜ. Ζςτω ότι Δ είναι το μζςο τησ ΑΜ τζτοιο ώςτε ΒΔ = και γωνία ΑΔΒ = 120 ο. 2 α) Να υπολογίςετε τισ γωνίεσ του τριγώνου ΒΔΜ. (Μονάδεσ 5) β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΒΔΓ είναι ορθογώνιο. (Μονάδεσ 6) γ) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΔΜΓ είναι ίςα. (Μονάδεσ 6) δ) Αν το ςημείο Κ είναι η προβολή του Δ ςτην ΒΓ, να αποδείξετε ότι 2ΜΚ=ΑΔ. (Μονάδεσ 8)
Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Από την κορυφή Α φζρουμε ΑΕ ΒΔ. Ζςτω Κ, Λ τα μζςα των πλευρών ΑΒ και ΑΔ αντιςτοίχωσ, τότε: α) Να αποδείξετε ότι: ο i. ΚΕΛ ˆ 90. (Μονάδεσ 8) ii. ΚΛ ΑΓ. (Μονάδεσ 8) 2 ο γ) Αν ΒΑΓ ˆ 30, να αποδείξετε ότι ΚΛ=ΒΓ. (Μονάδεσ 9)
Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ με κζντρο Ο και ΑΒ > ΒΓ, ΑΓ=2ΒΓ. Στην προζκταςη τησ πλευράσ ΔΑ (προσ το Α) παίρνουμε ςημείο Ε ώςτε ΔΑ=ΑΕ. α) Να αποδείξετε ότι: i. Το τετράπλευρο ΑΕΒΓ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδεσ 8) ii. Το τρίγωνο ΕΒΔ είναι ιςόπλευρο. (Μονάδεσ 9) β) Αν η ΕΟ τζμνει την πλευρά ΑΒ ςτο ςημείο Ζ, να αποδείξετε ότι ΔΖ ΕΒ. (Μονάδεσ 8)
Δίνεται κφκλοσ (Ο,R) με διάμετρο ΒΓ. Θεωροφμε ςθμείο Α του κφκλου και ςχεδιάηουμε το τρίγωνο ΑΒΓ. H προζκταςθ τθσ ΑΟ τζμνει τον κφκλο ςτο ςθμείο Ζ. Φζρουμε το φψοσ του ΑΔ, θ προζκταςθ του οποίου τζμνει τον κφκλο ςτο ςθμείο Ε. α) Να αποδείξετε ότι: i. ΖΓ=ΑΒ=ΒΕ (Μονάδεσ 8) ii. Το τετράπλευρο ΒΕΖΓ είναι ιςοςκελζσ τραπζηιο. (Μονάδεσ 7) ο β) Αν ˆΓ 30, να αποδείξετε ότι θ περίμετροσ του τραπεηίου ΒΕΖΓ είναι ίςθ με 5R, όπου R θ ακτίνα του κφκλου. (Μονάδεσ 10)
Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ. Ζςτω Ε το ςυμμετρικό ςημείο του Β ωσ προσ το Δ και Η είναι το μζςο τησ ΑΔ. Θ προζκταςη τησ ΓΔ τζμνει την ΑΕ ςτο Θ. Να αποδείξετε ότι: α) ΔΘ ΑΒ 2 (Μονάδεσ 8) β) Τα τρίγωνα ΑΔΘ και ΗΔΓ είναι ίςα. (Μονάδεσ 9) γ) Θ ΓΗ είναι κάθετη ςτην ΑΕ. (Μονάδεσ 8)
Δίνεται τραπζηιο ΑΒΓΔ ( ΑΒ // ΓΔ ) με Αˆ Δ 90 ˆ ο, ΔΓ = 2ΑΒ και Βˆ 3Γˆ. Φζρνουμε ΒΕ ΔΓ που τζμνει τθ διαγώνιο ΑΓ ςτο Μ. Φζρνουμε τθν ΑΕ που τζμνει τθ διαγώνιο ΒΔ ςτο Ν. Να αποδείξετε ότι: ο α) ˆΓ 45. (Μονάδεσ 6) β) Το τετράπλευρο ΑΒΓE είναι παραλλθλόγραμμο. (Μονάδεσ 6) β) 1 ΜΝ ΓΔ. (Μονάδεσ 7) 4 γ) ΑΕ ΒΔ. (Μονάδεσ 6)
Δίνεται κφκλοσ (Ο, R) και μια επίκεντρη γωνία του ΑΟΒ ίςη με 120 0. Οι εφαπτόμενεσ του κφκλου ςτα ςημεία Α και Β τζμνονται ςτο ςημείο Ρ. Θεωροφμε ςημείο Μ του τόξου ΑΒ και φζρουμε τισ χορδζσ ΑΜ και ΒΜ, οι οποίεσ προεκτεινόμενεσ τζμνουν τισ ΡΒ και ΡΑ και ςτα ςημεία Δ και Ε αντίςτοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τρίγωνο ΑΡΒ είναι ιςόπλευρο. (Μονάδεσ 8) β) ˆ ˆ ο ΜΑΒ ΜΒΑ 60. (Μονάδεσ 8) γ) Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΡΕΠ είναι ίςα. (Μονάδεσ 9)
Δίνεται ημικφκλιο διαμζτρου ΑΒ και δφο χορδζσ του ΑΓ και ΒΔ, οι οποίεσ τζμνονται ςτο ςημείο Ε. Φζρουμε EZ Να αποδείξετε ότι: AB. α) Οι γωνίεσ ΔΑΓ και ΔΒΓ είναι ίςεσ (Μονάδεσ 7) β) Τα τετράπλευρα ΑΔΕΖ και ΕΖΒΓ είναι εγγράψιμα. (Μονάδεσ 9) γ) Η ΕΖ είναι διχοτόμοσ τησ γωνίασ ˆ ΔΖΓ. (Μονάδεσ 9)
Δίνεται παραλλθλόγραμμο ΑΒΓΔ με Ο το κζντρο του. Από τθν κορυφι Δ φζρουμε το τμιμα ΔΚ κάκετο ςτθν ΑΓ και ςτθν προζκταςι του προσ το Κ κεωροφμε ςθμείο Ε, ώςτε ΚΕ= ΔΚ. Να αποδείξετε ότι: ΒΔ α) ΕΟ. (Μονάδεσ 8) 2 β) Η γωνία είναι ορκι. (Μονάδεσ 8) γ) Το τετράπλευρο ΑΕΒΓ είναι ιςοςκελζσ τραπζηιο. (Μονάδεσ 9)
Δφο κφκλοι (Ο, ρ 1 ), (Κ,ρ 2 ) εφάπτονται εξωτερικά ςτο Ν. Μια ευθεία (ε) εφάπτεται ςτουσ δφο κφκλουσ ςτα ςημεία Α, Β αντίςτοιχα. Η κοινή εφαπτομζνη των κφκλων ςτο Ν τζμνει την (ε) ςτο Μ. Να αποδείξετε ότι: α) Το Μ είναι μζςον του ΑΒ. (Μονάδεσ 7) β) γ) ΟΜΚ ˆ 90 ΑΝΒ ˆ 90 0 (Μονάδεσ 9) 0 (Μονάδεσ 9)
Έςτω κφκλοσ (Ο, ρ) και Ε το μζςον του τόξου του ΒΓ. Μια ευθεία (ε) εφάπτεται ςτο κφκλο ςτο Ε. Οι προεκτάςεισ των ΟΒ, ΟΓ τζμνουν την ευθεία (ε) ςτα ςημεία Ζ και Η αντίςτοιχα. Να αποδείξετε ότι : α) ΒΓ//ΖΗ (Μονάδεσ 5) β) ΟΖ=ΟΗ (Μονάδεσ 5) γ) Αν Β μζςον τησ ΟΖ i. να αποδείξετε ότι ΖΟΗ ˆ ΒΕΖ ˆ (Μονάδεσ 8) 4 ii. να υπολογίςετε τισ γωνίεσ του τριγώνου ΖΟΗ. (Μονάδεσ 7)
Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ με ΑΔ=ΒΓ. Αν Ε,Λ,Ζ,Κ,Ν,Μ είναι τα μζςα των ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ, ΔΒ και ΑΓ αντίςτοιχα, να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΕΜΖΝ ρόμβοσ. (Μονάδεσ 8) β) Η ΕΖ είναι μεςοκάθετοσ του ευθφγραμμου τμήματοσ ΜΝ. (Μονάδεσ 7) γ) ΚΕ=ΖΛ (Μονάδεσ 5) δ) Τα ευθφγραμμα τμήματα ΚΛ, ΜΝ, ΕΖ διζρχονται από ίδιο ςημείο. (Μονάδεσ 5)
Ζςτω Α, Β, Γ ςυνευθειακά ςθμεία με ΑΒ=2ΒΓ. Θεωροφμε το μζςο Μ τθσ ΑΒ. Προσ το ίδιο θμιεπίπεδο καταςκευάηουμε τα ιςόπλευρα τρίγωνα ΑΔΒ, ΒΕΓ. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΑΔΕΒ είναι τραπζηιο (ΑΔ//ΒΕ). (Μονάδεσ 9) β) Τα τρίγωνα ΔΜΒ, ΔΕΒ είναι ίςα. (Μονάδεσ 8) γ) Το τετράπλευρο ΔΜΒΕ είναι εγγράψιμο. (Μονάδεσ 8)
Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Θεωροφμε το μζςο Μ τησ πλευράσ ΑΔ και ΓΕ κάθετοσ από τη κορυφή Γ ςτην ευθεία ΜΒ (ΓΕ ΜΒ). Η παράλληλη από την κορυφή Δ ςτην ευθεία ΜΒ (Δx // MB) τζμνει τισ ΒΓ και ΓΕ ςτα ςημεία Ν, Ζ αντίςτοιχα. Να αποδείξετε ότι: α) Το τετράπλευρο ΜΒΝΔ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδεσ 7) β) Το ςημείο Ζ είναι μζςον του ευθυγράμμου τμήματοσ ΓΕ. (Μονάδεσ 9) γ) ΔΕ=ΔΓ. (Μονάδεσ 9)
Δίνεται οξυγϊνιο τρίγωνο ΑΒΓ. Καταςκευάζουμε εξωτερικά του τριγϊνου τα ιςόπλευρα τρίγωνα ΑΕΒ, ΑΓΔ. Ονομάζουμε Ζ το ςημείο τομθσ των ευιυγράμμων τμημάτων ΒΔ, ΓΕ. Να αποδείξετε ότι: α) Τα τρίγωνα ΑΕΓ και ΑΒΔ είναι ίςα και να γράψετε τα ζεφγη των ίςων γωνιϊν (Μονάδεσ 10) β) Τα τετράπλευρα ΑΖΓΔ, ΑΖΒΕ είναι εγγράψιμα. (Μονάδεσ 10) γ) Η γωνία ˆ ΒΖΓ είναι 120 0. (Μονάδεσ 5)
Δίνονται οξυγϊνιο τρίγωνο ΑΒΓ, ΒΕ,ΓΖ, τα φψη από τισ κορυφζσ Β, Γ αντίςτοιχα και Η το ορθόκεντρο του τριγϊνου. Επίςησ δίνονται ταμ, Ν, Κ, Λ μζςα των ευθυγράμμων τμημάτων ΑΒ, ΑΓ, ΓΗ, ΒΗ αντίςτοιχα. α) Να αποδείξετε ότι: i. ΜΝ=ΛΚ (Μονάδεσ 6) ii. ΝΚ=ΜΛ= ΑΗ 2 (Μονάδεσ 6) iii. Το τετράπλευρο ΜΝΚΛ είναι ορθογϊνιο. (Μονάδεσ 6) 0 β) Αν το Ο είναι το μζςο τησ ΒΓ, να αποδείξετε ότι το ΜΟΚ ˆ 90. (Μονάδεσ 7)